\begin{frame}
\section{Klassisk}
\begin{center}
\textbf{Klassisk reguleringsteknik}\\
- Frekvensbeskrevet regulering
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}[t]{Klassisk regulering}{Introduktion}

 \begin{itemize}
  \item Klassisk regulering bygger på betragtninger i frekvensdomænet.
  \item Typiske regulatorer er; P-, PI-, og PID-regulatorer.
  \item Der er valgt at bruge rodkurvedesign som designmetode.
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Systemtyper}
\subsection{Systemtyper}
\begin{IEEEeqnarray*}{l}
G_{\Theta_{\text{last}}}(s) = \frac{\Theta_{\text{last}}}{\dot{X}_{\text{slæde}}} = \frac{-1,59 \cdot s}{s^2 + 0,0011 \cdot s + 15,59} \\
G_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s) = \frac{\dot{X}_{\text{slæde}}}{U_{\text{e,x}}} = \frac{0,29 \cdot s^2+ 0,002 \cdot s + 4,56}{s^3 + 3,52 \cdot s^2 + 17,86 \cdot s + 54,68} \\
G_{\dot{Y}_{\text{last}}}(s) = \frac{\dot{Y}_{\text{last}}}{U_{\text{e,y}}}   =  \frac{1}{15,07\cdot s + 5,23}
\end{IEEEeqnarray*}

\begin{itemize}
  \item Alle er type 0 systemer.
  \item Integralvirkning for at fjerne steady state fejl.
  \item Gælder ved unity feedback.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}[t]{Klassisk regulering}{Rodkurvedesign}
\subsection{Rodkurvedesign}

\begin{itemize}
 \item Grafisk undersøgelse af systemers poler og nulpunkter.
 \item Rodkurveplot tegnet ved brug af \textbf{rlocus()} funktionen i matlab.
 \item Udnytter systemets poler flytter sig ved ændring i systemets forstærkning.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}
\subsection{Regulator til x-retningen}

\begin{figure}[H] %Blokdiagram af anti-windup
\centering
\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex']
  % We start by placing the blocks
    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input, node distance=1.7cm] (sum) {};
    \node [block, right of=sum, node distance=2.3cm] (Dtheta-last) {$D_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$};
    \node [block, right of=Dtheta-last, node distance=3cm] (Gyprik-last) {$G_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$};
    \node [output, right of=Gyprik-last,, node distance=2.3cm] (output) {}; 
 
  % We draw lines	    
    \draw [->] (input) -- node {$R_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$} (sum);
    \draw [->] (sum) -- node {$e_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$} (Dtheta-last);
    \draw [->] (Dtheta-last) -- node[name=u] {$U_{e,x}$} (Gyprik-last);
    \draw [->] (Gyprik-last) -- node[name=y] {$Y_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$}(output);
    \coordinate [below = -15pt, below of=u] (below-u);
    \draw [->] (y) |- (below-u) -| node[pos=0.99] {$-$} (sum);       
\end{tikzpicture}
\end{figure}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline Område & Krav \\
\hline Oversving & < 5 \% \\ 
\hline Steady state fejl & < $\pm$ 2,5 \% \\
\hline 
\end{tabular} 
\caption{Krav til hastighedsregulering i $x$-retning.}
\label{tab:klassisk_regulatorkrav_x}
\end{table}

\begin{itemize}
 \item Designet i to step.
 \item Først er der designet en regulator til hastigheden.
\end{itemize}

\end{frame}
 
\begin{frame}{Klassisk regulering}{Ureguleret system}

\includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/rlocus_xhast_indre.pdf}

\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}

\includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/hastRegulatorRodkurve.pdf}

\begin{itemize}
 \item Endelige rodkurvedesign med en pol i 0 og et nulpunkt i -2.
 \item Polen sikre mod steady state fejl.
 \item Nulpunktet gør systemet mere responsivt overfor hurtige ændringer.
\end{itemize}
\end{frame}

%\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}
%
%\includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/hastRegulatorStep.pdf}
%\begin{itemize}
% \item Fjerner steady state fejl.
% \item Svingning kommer fra de komplekse poler med en real del på næsten 0.
%\end{itemize}
%
%
%\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}
 
\includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/tikzi.pdf}
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline Område & Krav \\
\hline Vinkel & < $4,5\degree$ \\
\hline Steady state fejl & < $\pm$ 2,5 \% \\
\hline 
\end{tabular} 
\caption{Krav til vinkelregulering i $x$-retning.}
\label{tab:klassisk_regulatorkrav_vinkelx}
\end{table}

\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/VinkelRodkurve.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/vinkelStepRespons.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til x-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/sim_step_x.pdf}
\begin{itemize}
 \item Mætningen har lille indflydelse.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til y-retningen}
\subsection{Regulator til y-retningen}
 
\begin{figure}[H] %Blokdiagram af y hastighedsregulator
\centering
\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex']
  % We start by placing the blocks
    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input, node distance=1.7cm] (sum) {};
    \node [block, right of=sum, node distance=2.3cm] (Dtheta-last) {$D_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$};
    \node [block, right of=Dtheta-last, node distance=3cm] (Gyprik-last) {$G_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$};
    \node [output, right of=Gyprik-last,, node distance=2.3cm] (output) {}; 
 
  % We draw lines	    
    \draw [->] (input) -- node {$R_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$} (sum);
    \draw [->] (sum) -- node {$e_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$} (Dtheta-last);
    \draw [->] (Dtheta-last) -- node[name=u] {$U_{e,x}$} (Gyprik-last);
    \draw [->] (Gyprik-last) -- node[name=y] {$Y_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$}(output);
    \coordinate [below = -15pt, below of=u] (below-u);
    \draw [->] (y) |- (below-u) -| node[pos=0.99] {$-$} (sum);     
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline Område & Krav \\
\hline Oversving & < 5 \% \\ 
\hline Steady state fejl & < $\pm$ 2,5 \% \\
\hline 
\end{tabular} 
\end{table}

\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Ureguleret system}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/rlocus_yhast_ureg.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til y-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/hastRegulatorRodkurve_y.pdf}
\begin{itemize}
 \item Pol i nul fjerner steady state fejlen
 \item Nulpunktet i -0.8 giver hurtigere system respons.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til y-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/hastStep_y.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Regulator til y-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/sim_step_y.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{Anti-windup}
\subsection{Anti-windup}
\begin{figure}[H] %Blokdiagram af anti-windup
\centering
\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex']
    \node [input, name=input] {};
    \node [block, right of=input, node distance=2cm] (Kp) {Kp(s)};
    \node [sum, right of=Kp, node distance=3cm] (sum) {};
    \node [block, right of=sum, node distance=2cm] (saturation) {\pgftext{\includegraphics[scale=0.15]{billeder/klassisk/saturation}}};
    \node [output, right of=saturation, node distance=2cm] (output) {}; 
    \coordinate [left = -1 cm, left of = input](in);
	\draw [-] (in) -- node {} (input);    
    \draw [->] (input) -- node[name=-kp] {} (Kp);
    \draw [->] (Kp) -- node [name=kp-] {} (sum);
    \draw [->] (sum) -- node [name=u] {$u$} (saturation);
    \draw [-] (saturation) -- node[name=usat] {$u_{sat}$} (output);
    \node [block, below of=-kp, node distance=1.8cm] (Ki) {Ki(s)};
    \node [block, below of=Kp, node distance=1.7cm] (produkt) {$\prod$};
    \node [block, below of=kp-, node distance=1.8cm] (integral) {$\int$};
    \node [block, below of=integral, node distance=1.8cm] (switch) {$Switch$};
    \node [sum, right of=switch, node distance=2.15cm] (sum1) {};
    \draw [->] (input) |- node {} (Ki);
    \draw [->] (Ki) -- node {} (produkt);
    \draw [->] (produkt) -- node {} (integral);
    \draw [->] (integral) -| node {} (sum);
    \draw [->] (switch) -| node {} (produkt);
    \draw [->] (sum1) -- node {} (switch);   
    \draw [->] (u) -- node {} (sum1);
    \draw [->] (usat) |- node {} (sum1);
    \coordinate [above = -1.7 cm, above of = sum1, label = left:\tiny{$+$}];
    \coordinate [below = -1.7 cm, below of = sum1, label = right:\tiny{$-$}];
    \coordinate [left of=switch,left = -0.85 cm, label = above:$u_{s}$];
    \coordinate [right of = switch, right= -0.85 cm, label = above:$u_{e}$];
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Fjerner integralledet når mætningen rammes.

\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{x-retningen}
\subsection{Implementering}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/verificering_x0,60.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Klassisk regulering}{y-retningen}
 \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/verificering_yop.pdf}
\end{frame}